Question

помогите пожалуйста, с решением, все испробовал никак не могу...

Answer 1

12 )

∫(3x+5)⁷dx=(1/3)(1/8)(3x+5)⁸+c=(1/24)(3x+5)⁸+c

13)

∫cos³xsinxdx=-∫cos³xdcosx=(обозначим cosx=y) = -∫y³dy=-(1/4)y⁴=-(1/4)cos⁴x+c


проверка ((-1/4)cos⁴x)'=-(1/4)*4(cos³x)*(-sinx)=cos³sinx    все верно

Answer 2

Пусть 3x+5 = t; Тогда нужно найти $\int {t^{7} } \, dx$ Но дифференциал dx указывает на то, что процесс интегрирования должен происходить по переменной x, а у нас переменная t; Значит нужно выразить dx через dt; Заметим, что $\frac{dt}{dx}=(3x+5)'=3;$ Значит $dx= \frac{dt}{3}$; Подставим это вместо dx: 
$\int {t^{7} } \, dx= \int { \frac{t^{7}}{3} } \, dt = \frac{1}{3} \int {t^{7} } \, dt= \frac{t ^{8} }{24}+C$ Сделаем обратную замену. В результате: 
$\int {(3x+5)^{7} } \, dx = \frac{(3x+5)^{8} }{24}+C$; Можно было и без замены делать, но это так, чтоб показать)
==
Сделаем замену $sin(x)=t$
Получим: $\int {t-t^{3} } \, dt= \int {t} \, dt- \int {t^{3} } \, dt= \frac{t^{2} }{2}- \frac{t^{4} }{4}+C$
Сделав обратную замену: $\frac{sin^{2}(x) }{2} - \frac{sin^{4}(x) }{4} +C$