Question

Cрочно!!! Вычислить интеграл 
$\int\limits^1_0 {\frac{x dx}{\sqrt[4]{(1+15x^2)^3}}}$

Answer 1

Рассмотрим неопределенный интеграл:
$\int \frac{xdx}{ \sqrt[4]{(15x^2+1)^3}} = \frac{1}{30} \int \frac{d(15x^2+1)}{ \sqrt[4] {(15x^2+1)^3}} = \frac{1}{30} \int (15x^2+1)^{ -\frac{3}{4} }d(15x^2+1) =\\ = \frac{1}{30}(15x^2+1)^{ \frac{1}{4}} + C = \frac{1}{30} \sqrt[4]{15x^2+1}} + C$
Используем пределы интегрирования:
$\int \limits_{0}^{1} \frac{xdx}{ \sqrt[4]{(15x^2+1)^3}} = \frac{1}{30} \sqrt[4]{15x^2+1}} \big | _{0}^{1} = \frac{1}{30}\sqrt[4]{15+1}- \frac{1}{30}\sqrt[4]{0+1}=\\ =\frac{1}{30}*2-\frac{1}{30} = \frac{1}{30}.$