Question

Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння
y"'+y"=4*×

Answer 1

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
$y'''+y''=0$

Пусть $y=e^{kx}$, тогда перейдем к характеристическому уравнению
$k^3+k^2=0\\ k^2(k+1)=0\\ k_{1,2}=0;\\ k_3=-1$

Общее решение однородного ур-я: $y=C_1+xC_2+C_3e^{-x}$

Рассмотрим функцию $f(x)=4xe^{0\cdot x}$
$P_n(x)=4x~~~\Rightarrow~~~ n=1\\ \alpha =0$

Сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения, и принимая во внимая, что n=1, частное решение будем искать в виде:
$y$ч.н. = $x^2(Ax+B)=Ax^3+Bx^2$
$y'=3Ax^2+2Bx\\ y''=6Ax+2B\\ y'''=6A$

Подставим данные в исходное уравнение:
$6A+6Ax+2B=4x\\ \\ 6Ax+6A+2B=4x$

Приравниваем коэффициенты при степени x, получим:

$\displaystyle \left \{ {{6A=4} \atop {6A+2B=0}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{A= \frac{2}{3} } \atop {2B=-4}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{A= \frac{2}{3} } \atop {B=-2 }} \right.$

Частное решение: $y$ч.н. = $\frac{2x^3}{3}-2x^2$


ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ:

$y=y_{o.o}+y$ч.н. = $C_1+xC_2+C_2e^{-x}+\frac{2x^3}{3}-2x^2$