Question

Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння
yy"=(y')^2-(y')^3

Answer 1

Введем функцию t(y) = y'(x). Тогда t' = d(y')/dy = (d(y')/dx) / (dy/dx) = y''/y' = y''/t; y'' = t * t'.

Получим дифференциальное уравнение на t:
y t t' = t^2 - t^3

Запомним, что мы могли потерять решение t = 0, и разделим на t:
y t' = t - t^2

Получилось уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем:
$y t' = t - t^2\\ \dfrac{dt}{t(1-t)}=\dfrac{dy}y\\ \dfrac{dt}t-\dfrac{dt}{t-1}=\dfrac{dy}y\\ \dfrac{t}{t-1}=-\dfrac y{C_1}\\ 1+\dfrac1{t-1}=-\dfrac{y}{C_1}\\ t(y)=1-\dfrac{1}{\frac y{C_1}+1} =\dfrac{y}{y+C_1}$

В ходе решения ещё могло потеряться решение с t = 1. Возвращаемся к y(x):
$y'=\dfrac{y}{y+C_1}$

Это тоже уравнение с разделяющимися переменными.
$dy+C_1\dfrac{dy}y=dx\\ \boxed{y+C_1\ln|y|=x+C_2}$

Возвращаемся к потерянным решениям:

1) t = 0: y' = 0, y = C
Подставляем в уравнение: C * 0 = 0 - 0 – подходит!
y = C – решение.

2) t = 1: y' = 1, y = x + C
Подставляем в уравнение: (x + C) * 0 = 1^2 - 1^2 – подходит! 
y = x + C – решение, но оно получается из уже выписанного решения при C1 = 0.