Question

Какому значению не может равняться произведение sina cosa?

Answer 1

sin a* cos a=0,5*sin(2a).

Заметим, что    -1≤sin(2a)≤1.
Значит   -1*0,5≤0,5*sin(2a)≤0,5*1.

-0,5≤0,5*sin(2a)≤0,5.

Значение произведения не может выходить за пределы промежутка [-0,5; 0,5].

То есть sin a* cos a ∉(-∞; -0,5)∪(0,5;+∞).

Answer 2

Посчитаем производную

$(cos \alpha * sin \alpha )' = cos^2 \alpha - sin^2 \alpha$
Найдём точки экстремума
$cos^2 \alpha - sin^2 \alpha = 0$
$cos^2 \alpha = sin^2 \alpha$

$\alpha = +- \frac{ \pi}{4} + 2 \pi k;$ k∈ Z
$\alpha = +- \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k$
Найдём значения cos(a) * sin(a) в точках минимума и максимума, т.к. функция периодична (период $\pi$) то достаточно проверить две точки. Это $\frac{ \pi }{4}$ и  $- \frac{\pi}{4}$

В точке a = pi/4 значение sin(a) * cos(a) = 1/2
В точке a = -pi/4 значение sin(a) * cos(a) = -1/2
Ответ: произведение sin(a) * cos(a) не может быть больше 1/2 и меньше -1/2