Question

Три числа являются арифметической прогрессией.Если второе и третье уменьшить на 1,а первое оставить без изменения,то полученные числа будут составлять геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Найдите эти числа.
Заранее спасибо!

Answer 1

Пусть x; y; z - данная арифм. прогрессия. Тогда по условию х; у-1; z-1 - геомет. прогрессия со знаменателем 2. Исходя из свойств прогрессий получим соотношения:
а) для арифм. прогрессии: $y= \frac{x+z}{2}$
б) для геом. прогресии: $\frac{y-1}{x} =2\ u\ (y-1)^2=x(z-1)$
Получим систему уравнений:
$\begin {cases} y=\frac{x+z}{2} \\ \frac{y-1}{x} =2 \\ (y-1)^2=x(z-1) \end {cases}\ \Rightarrow \begin {cases} x+z=2y \\ y=2x+1 \\ (y-1)^2=x(z-1) \\ x \neq 0 \end {cases}\ \Rightarrow \\ \begin {cases} z=3x+2 \\ y=2x+1 \\ (2x+1-1)^2=x(3x+2-1) \\ x \neq 0 \end {cases}\ \Rightarrow \ \begin {cases} x \neq 0 \\ z=3x+2 \\ y=2x+1 \\ 4x^2=3x^2+x \end {cases}\ \Rightarrow$
$\begin {cases} x \neq 0 \\ z=3x+2 \\ y=2x+1 \\ x^2-x=0 \end {cases}\ \Rightarrow \begin {cases} x \neq 0 \\ \left[ \begin{matrix} x=0\\ x=1 \end{matrix}\right \\ z=3x+2 \\ y=2x+1 \end {cases}\ \Rightarrow \begin {cases} x =1 \\ y=3 \\ z=5 \end {cases}$
Итак, данная арифметическая прогрессия есть 1; 3; 5.
Ответ: 1; 3; 5.