Question

Найдите действительные значения m, при которых минимум f равен $-\frac{1}{4}$

f(x) = $x^{2}$ + (2m + 1)x + $m^{2}$ - 3

Answer 1

Графиком функции $y=x^2+(2m+1)x+m^2-3$ является парабола, ветви направлены вверх. Функция принимает наименьшего значения в точке вершины параболы.

$x=- \dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2m+1}{2}$ 

Подставим в исходную функцию и принимаем во внимания, что y=-1/4

$-0.25=\bigg(-\dfrac{2m+1}{2} \bigg)^2-(2m+1)\cdot \dfrac{2m+1}{2} +m^2-3~~~|\cdot 4\\ \\ -1=(2m+1)^2-2(2m+1)^2+4m^2-12\\ \\ (2m+1)^2-4m^2+11=0\\ \\ 4m^2+4m+1-4m^2+11=0\\ \\ 4m=-12\\\\ m=-3$

Ответ: при m = - 3.