Question

вычислить интеграл Лебега если он существует f(x)=x/sqrt(1-x^2) , E=[-1;1]

Answer 1

Подынтегральная функция нечетная так как f(x)=f(-x).

Покажем это.

$f(-x)= \frac{-x}{ \sqrt{1-(-x)^2}}$

$f(-x)= -\frac{x}{ \sqrt{1-x^2}}$

$-f(x)= -\frac{x}{ \sqrt{1-x^2} }$

$f(-x)=-f(x)$

Заметим, что f(x) интегрируема по Лебегу. Так как особенность в точках -1 и 1. Не более единицы. То есть размерность 0,5. Значит эта функция будет интегрируема по Лебегу. 

Так как интервал симметричный [-1; 1]. Функция подынтегральная нечетная, то сам интеграл равен 0.

Ответ: интеграл равен 0.