Question

При каких значениях параметра а уравнение (√x – a)(3x^2+ x - 2) = 0 имеет единственное решение?

Answer 1

ОДЗ: x≥0
Произведение двух чисел равно нулю, если одно из двух чисел равно нулю. Прорешаем уравнение относительно второго множителя.

3x²+x-2=0
D=1+24=25
x₁=(-1+5)/6=2/3
x₂=(-1-5)/6=-1 (не подходит для ОДЗ)

Значит один корень будет в любом случае, независимо от параметра. Теперь разберемся с первым множителем уравнения, где находится параметр.
Если его значение будет нулем при найденнем выше корне, то и все уравнение будет иметь лишь один корень. Следовательно:

√(2/3)-a=0
a=√(2/3)

Но это еще не все. Если превратим первый множитель в вечно положительное число, т.е. (√x - a)>0, то такого решения, где оно равно нулю - не найдется. √x итак вечно положителен. Таким образом (-a) больше нуля
-a>0
a<0

Так-же при a=0, x=0, так же единственный корень.

Ответ: a∈(-∞;0]U{√(2/3)}