Question

Решить неравенство с логарифмами

Answer 1

$log_{ \frac{1}{2} }(2^{x+1}-2)=-log_2(2*(2^x-1)) = -log_22-log_2(2^x-1) =\\=-1-log_2(2^x-1)$

обозначим:

$log_2(2^x-1) = t$

$t(-1-t) \ \textgreater \ -2\\ t^2+t \ \textless \ 2\\ t^2+t - 2\ \textless \ 0\\ D=1 + 8 = 9\\ t_1 = \frac{-1-3}{2} =-2\\ t_2= \frac{-1+3}{2} =1\\ t\in (-2;1)$

вернемся к замене:

$-2 \ \textless \ log_2(2^x-1) \ \textless \ 1\\ 2^{-2} \ \textless \ 2^x-1 \ \textless \ 2^1\\ \frac{1}{4} \ \textless \ 2^x-1\ \textless \ 2\\ \frac{5}{4} \ \textless \ 2^x\ \textless \ 3\\ log_2 \frac{5}{4} \ \textless \ x \ \textless \ log_23$