Question

Помогите решить задачу из математического анализа. Вычислить двойной интеграл в декартовых координатах:

Answer 1

Переменная для внешнего интегрирования и ограничения для этой переменной :
$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Переменная для внутреннего интегрирования и ограничения для этой переменной:
$0 \leq y \leq \sqrt{1- \frac{x^2}{2} }$


$\displaystyle \iint_{D} xdxdy= \int\limits^{\sqrt{2}}_0 {} \, dx \int\limits^{\sqrt{1- \frac{x^2}{2} } }_0 {x} \, dy= \int\limits^{\sqrt{2}}_0 {\bigg[xy\bigg|^{\sqrt{1- \frac{x^2}{2} } }_0}\bigg] \, dx =\\ \\ \\ = \int\limits^{\sqrt{2}}_0 {x\sqrt{1- \frac{x^2}{2} } } \, dx = \frac{1}{ \sqrt{2} } \int\limits^{\sqrt{2}}_0x\sqrt{2-x^2}dx= -\frac{1}{2\sqrt{2}} \int\limits^{\sqrt{2}}_0 \sqrt{2-x^2} d(2-x^2)=$


$\displaystyle=- \frac{1}{2 \sqrt{2} } \cdot\frac{2 \sqrt{(2-x^2)^3} }{3}\bigg|^{ \sqrt{2} }_0= \frac{2}{3}$