Question

В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом 15°. Усі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом 60°. Радіус кулі, описаної навколо піраміди, дорівнює 6 см. Обчисліть об'єм піраміди .
В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с углом 15 °. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60 °. Радиус шара, описанного вокруг пирамиды, равна 6 см. Вычислите объем пирамиды

Answer 1

Ответ:

Объем пирамиды равен 40,5 см ³

Объяснение:

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с углом

15 °. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под

углом 60 °. Радиус шара, описанного вокруг пирамиды, равен 6 см. Вычислить объём пирамиды.

Пусть дана пирамида DABC . Δ АВС - прямоугольный.

∠С =90° , ∠А =15°.

Так как все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом в 60 °, то вершина пирамиды проектируется в центр описанной около основания окружности.

ΔАВС - прямоугольный. Центр описанной окружности  - середина гипотенузы АВ. DН - высота пирамиды , Н - середина АВ.

ΔАВD - равнобедренный и так как углы при основании по 60°, то он равносторонний.

Этот треугольник вписан в окружность радиуса 6 см. Найдем сторону этого треугольника. Воспользуемся формулой радиуса окружности, описанной около равностороннего треугольника

$R =\dfrac{a}{\sqrt{3} } ,$  где а -сторона треугольника.

Тогда $a =R\sqrt{3}$

AD =BD =AB =6√3 см.

Найдем высоту этого треугольника DН - это и будет высота пирамиды

Высота равностороннего треугольника определяется по формуле

$h =\dfrac{a\sqrt{3} }{2},$ где а -сторона треугольника.

$DH =\dfrac{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} }{2} =\dfrac{6\cdot3}{2} =\dfrac{18}{2} =9$

Высота пирамиды равна 9 см.

Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный , гипотенуза  АВ = 6√3 см.

Этот треугольник является основанием пирамиды. Найдем площадь этого треугольника как полупроизведение катетов.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе .

$sin A = \dfrac{BC }{AB} ;\\\\BC =AB \cdot sin A;\\BC =6\sqrt{3} \cdot sin 15^{0}$

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$cos A = \dfrac{AC }{AB} ;\\\\AC =AB \cdot cos A;\\AC =6\sqrt{3} \cdot cos 15^{0}$

Тогда площадь будет равна

$S {_{ABC}}=\dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BC ;\\\\S {_{ABC}}=\dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot cos15^{0} \cdot 6\sqrt{3} \cdot sin 15^{0} =3\sqrt{3} \cdot 3 \sqrt{3} \cdot 2 sin15^{0} \cdot cos 15^{0} =\\\\=9\cdot 3 \cdot sin 30^{0} =27\cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{27}{2}= 13,5$

Была использована формула синуса двойного угла

$sin2\alpha =2sin\alpha\cdot cos\alpha$

Площадь основания пирамиды равна 13,5 см ².

Найдем объем пирамиды по формуле:

$V =\dfrac{1}{3} \cdot S \cdot H,$

где S - площадь основания пирамиды ,  H - высота.

$V =\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{27}{2} \cdot 9=\dfrac{9\cdot3\cdot9}{3\cdot2} =\dfrac{81}{2}=40,5$  см ³.

Объем пирамиды равен 40,5 см ³

#SPJ5