Question

Помогите решить приведя основание логарифмов к 0,5. Никак не могу прийти к правильному ответу

Answer 1

Если преобразовать 
$\\x\ \textgreater \ 0\\ log_{64x}4 = \frac{1}{log_{4}64x} = \frac{2}{log_{2}8+log_{2}(8x)}\\ log_{0.5}(8x) = - log_{2}(8x) \\ log_{2}(8x)=t\\ \frac{2log^2_{2}(8x)}{3+log_{2}(8x}} \leq 3 \\ \frac{2t^2}{3+t} \leq 3 \\ t \neq -3\\ 2t^2 \leq 9+3t \\ 2t^2-3t-9 \leq 0 \\ (2t+3)(t-3) \leq 0 \\ t \in [ -\frac{3}{2}; 3] \cup (-\infty ; -3) \\ \\ -\frac{3}{2} \leq log_{2}(8x) \leq 3 \\ 2^{-\frac{9}{2}} \leq x \leq 1 \\ \\ log_{2}(8x)\ \textless \ -3 \\ x \ \textless \ \frac{1}{64}\\ x\ \textgreater \ 0$ 
  
 $2^{-\frac{9}{2}} \leq x \leq 1 \\ \\ x \in (0 , \frac{1}{64} ) \cup [\frac{1}{\sqrt{512}}, 1]$

Answer 2

А зачем тебе такое основание? Лучше сделать основание = 2.
пробуем?
1) log₆₄ₓ4 = log₂4/log₂(64x) = 2/(log₂64 +log₂x) = 2/(6 +log₂x);
2) log₀₎₅²(8x) = log₀₎₅(8x) * log₀₎₅(8x) = log₂(8x)/log₂0,5 * log₂(8x)/log₂0,5 =
=(log₂8 + log₂x)/(-1) * (log₂8 + log₂x)/(-1) =
=(3 +log₂x)(3 +log₂x)= 9 +6log₂x + log₂²x.
3) теперь наш пример: 2/(6 +log₂x) * (9 +6log₂x + log₂²x) ≤ 3 , ⇒
⇒ 2(9 +6log₂x + log₂²x)/(6 +log₂x) -3  ≤ 0, ⇒
⇒(18 +12log₂x + 2log₂²x -18 -3log₂x)/(6 +log₂x) ≤ 0,⇒
⇒(2log₂²x  + 9log₂x)/(6 +log₂x) ≤ 0
метод интервалов.
ищем нули числителя. Это 0  и  - 4,5
                  для  знаменателя это - 6   
-∞         - 6            -4,5           0              +∞
        +             +             -               +          это знаки  (2log₂²x  + 9log₂x)
         -             +              +              +         это знаки  (6 +log₂x) 
IIIIIIIIIIIIIII                 IIIIIIIIIIIIIIII
a)  log₂x < -6         x ≤1/64
      x > 0, ⇒          x > 0       вывод: х∈(0;1/64)   
б) -4,5 ≤   log₂x ≤  0  , ⇒1/512 ≤ x ≤ 1