Question

Найти общие решения уравнений

Answer 1

$y''-4y'+3y=10e^{3x}\\\\1)\; \; k^2-4k+3=0\; ,\; \; k_1=1\; ,\; \; k_2=3\\\\y_{obshee\, odnor.}=C_1\cdot e^{x}+C_2\cdot e^{3x}\\\\2)\; \; f(x)=10e^{3x}\; ,\; \lambda =3=k_2\; \; \Rightarrow \; \; r=1\\\\y_{chastn.neodn.}=A\, x\, e^{3x}\, ;\\\\y'=A\cdot e^{3x}+Ax\cdot 3e^{3x}\, ;\\\\y''=3A\cdot e^{3x}+3A\cdot e^{3x}+3Ax\cdot 3e^{3x}\, ;\\\\y''-4y'+3y=\\\\=e^{3x}\cdot (3A+3A+9Ax)+e^{3x}\cdot (-4A-12Ax)+e^{3x}\cdot 3Ax\, ;\\\\e^{3x}\cdot (6A+9Ax-4A-12Ax+3Ax)=10e^{3x}\, ;\\\\2A=10\; \; \to \; \; A=5\\\\y_{chastn.neodn.}=5xe^{3x}$

$3)\; \; y_{obshee\; neodn.}=C_1e^{x}+C_2e^{3x}+5xe^{3x}$