Question

а) Решите уравнение 2cos^2x+1=2корень2cos((3pi\2)-x)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку [3pi/2; 3pi]

Answer 1

$2cos^2x+1=2\sqrt2\, cos(\frac{3\pi }{2}-x)\\\\2(1-sin^2x)+1=-2\sqrt2\, sinx\\\\2sin^2x-2\sqrt2\, sinx-3=0\\\\D/4=(\sqrt2)^2-2\cdot (-3)=8\\\\(sinx)_{1,2}= \frac{\sqrt2\pm \sqrt8}{2}=\frac{\sqrt2\pm 2\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}\pm \sqrt2\\\\a)\; sinx=\frac{\sqrt2}{2}+\sqrt2\approx 2,12\ \textgreater \ 1\; \; \Rightarrow \; \; x\in \varnothing \\\\b)\; sinx=\frac{\sqrt2}{2}-\sqrt2=-\frac{\sqrt2}{2}\approx -0,7\\\\x=(-1)^{n}\, arcsin(-\frac{\sqrt2}{2})+\pi n=(-1)^{n+1}\cdot arcsin\frac{\sqrt2}{2}+\pi n,\; n\in Z\\\\c)\; x\in [\, \frac{3\pi }{2},3\pi \, ]:\; \; x=-arcsin\frac{\sqrt2}{2}+2\pi$