Question

Даю 80 баллов. решение на листочке скиньте, пжл

Answer 1

Найдем плотность распределения $f(x)$, как производную от функции распределения $F(x)$ (это само определение плотности):
$\displaystyle f(x)= \dfrac{d}{dx} F(x)= \frac{d}{dx} (tgx)= \frac{1}{\cos^2x} = \frac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos^2x}=tg^2x+1$

$f(x)=\begin{cases} & \text{ } 0,~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~x\ \textless \ 0 \\ & \text{ } tg^2x+1,~~~~~0\ \textless \ x\ \textless \ \frac{\pi}{4} \\ & \text{ } 0 ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x\ \textgreater \ \frac{\pi}{4} \end{cases}$ - плотность распределения.


б) Вычислить математическое ожидание M(x)
$\displaystyle M(x)= \int\limits^{\frac{\pi}{4} }_0 {xf(x)} \, dx =\int\limits^{\frac{\pi}{4} }_0(xtg^2x+x)dx=x\cdot tgx\bigg|^{ \frac{\pi}{4} }_0-\\ \\ - \frac{1}{2}\ln|tg^2x+1|\bigg|^{\frac{\pi}{4} } _0\approx0.439$

в) Дисперсия D(x)
$D(x)=\displaystyle \int\limits^{\frac{\pi}{4} }_0x^2f(x)dx= \int\limits^{\frac{\pi}{4} }_0(x^2tg^2x+x^2)dx\approx0.053$

г) $\sigma(x)= \sqrt{D(x)}\approx 0.23$