Question

как решать эти примеры? (интегралы) все на фото 18 и 19 задания

Answer 1

18.  ОДЗ по логарифму  а>0
Вначале вычислить интеграл
$\int\limits^2_0 {(t-log_2a)} \, dt =$ t²/2 - t*log₂a  |²₀ =
= (4/2 - 2log₂a) - (0 - 0) = 2 - 2log₂a = 2(1 - log₂a) =
= 2 (log₂2 - log₂a) = 2 log₂(2/a)   ⇒

$\int\limits^2_0 {(t-log_2a)} \, dt =2log_2 \frac{2}{a}$  ⇔  $2log_2 \frac{2}{a} =2log_2 \frac{2}{a}$

Полученное равенство справедливо для всех a>0  ⇒
Ответ C)  a∈(0; +∞)

19. Так как функция   f(x)=|x|+1   симметрична относительно прямой x=0 ⇒
$\int\limits^0_{-2} {(|x|+1)} \, dx$  ⇔   $\int\limits^2_0 {(x+1)} \, dx$
$\int\limits^2_0 {(x+1)} \, dx =$ x²/2 + x |²₀ = 2²/2 + 2 - 0 = 4
Ответ С) 4

Если решать без симметрии. Интервал интегрирования x∈[-2;0] ⇒
-2 ≤ x ≤ 0   ⇒    |x| = -x
$\int\limits^0_{-2} {(|x|+1)} \, dx = \int\limits^0_{-2} {(1-x)} \, dx =$
= x - x²/2  |⁰₋₂ = 0 - 0 - (-2 - (-2)²/2) = -(-4) = 4
Ответ С) 4