Question

Найти неопределённый интеграл

Answer 1

Решается по методу неопределенных коэффициентов.
$\frac{3x^2+3x+22}{(x^2+4x+8)(x-3)} = \frac{Ax+B}{x^2+4x+8} + \frac{C}{x-3}}= \frac{(Ax+B)(x-3)+C(x^2+4x+8)}{(x^2+4x+8)(x-3)}$
Знаменатели одинаковые, значит, и числители равны.
Ax^2 + Bx - 3Ax - 3B + Cx^2 + 4Cx + 8C = 3x^2 + 3x + 22
Составляем систему по степеням x:
{ A + C = 3
{ -3A + B + 4C = 3
{ -3B + 8C = 22
Подставляем 1 уравнение во 2 и 3 уравнения
{ C = 3 - A
{ -3A + B + 4(3 - A) = -7A + B + 12 = 3
{ -3B + 8(3 - A) = -8A - 3B + 24 = 22
Приводим подобные
{ C = 3 - A
{ -7A + B = -9
{ -8A - 3B = -2
Умножаем 2 уравнение на 3
{ C = 3 - A
{ -21A + 3B = -27
{ -8A - 3B = -2
Складываем 2 и 3 уравнения
{ -29A = -29; A = 1
{ B = (-8A + 2)/3 = (-8 + 2)/3 = -6/3 = -2
{ C = 3 - A = 3 - 1 = 2
Заметим, что:
1) x^2 + 4x + 8 = (x^2 + 4 + 4) + 4 = (x+2)^2 + 4
2) (x^2 + 4x + 8)' = 2x + 4
Получаем интеграл:
$\int { (\frac{x-2}{x^2+4x+8}+ \frac{2}{x-3} )} \, dx = \frac{1}{2} \int { \frac{2x+4}{x^2+4x+8} } \, dx -4 \int { \frac{dx}{x^2+4x+8} } +2 \int { \frac{dx}{x-3} }$
Решаем их по одному
$I1=\frac{1}{2} \int { \frac{2x+4}{x^2+4x+8} } \, dx=|^{t=x^2+4x+8}_{dt=(2x+4)dx}|= \frac{1}{2} \int { \frac{dt}{t} }= \frac{1}{2}ln|x^2+4x+8|$
$I2=4 \int { \frac{dx}{(x+2)^2+4} }=4* \frac{1}{2}*arctg \frac{x+2}{2}$
$I3=2 \int { \frac{dx}{x-3} } =2ln|x-3|$
В итоге получаем:
$\int {\frac{3x^2+3x+22}{(x^2+4x+8)(x-3)}} \, dx =\frac{1}{2}ln|x^2+4x+8|-2arctg \frac{x+2}{2}+2ln|x-3|+C$