Question

помогите вычислить с помощью двойного интеграла площадь фигуры ограниченной данными линиями xy=6, x+y-7=0

Answer 1

xy = 6 ⇒ y = 6/x - графиком функции является гипербола
x+y-7=0  ⇒   y = 7-x - прямая, проходящая через точки (0;7), (7;0)

$S=\displaystyle \int\limits^6_1 \int\limits^{7-x}_{ \frac{6}{x} } {dxdy} =\int\limits^6_1 {y\bigg|^{7-x}_{6/x}} dx=\int\limits^6_1 {\bigg(7-x- \frac{6}{x} \bigg)} dx=\\ \\ \\ =\bigg(7x- \frac{x^2}{2} -6\ln|x|\bigg)\bigg|^6_1=7\cdot6- \frac{6^2}{2}-6\ln 6-7\cdot1+ \frac{1^2}{2} = \frac{35}{2}-6\ln6$