Question

при каких A, B,и C справедливо равенство:x+3/x^2 (x-1)=A/x+B/x^2+C/x-1?

Answer 1

Надо в правой части привести дроби к общему знаменателю.Общий знаменатель будет равен x^2(x-1), то есть такому же выражению, которое стоит в знаменателе 
исходной дроби.В итоге получим равенство двух дробей с равными знаменателями.
Остаётся приравнять числители.
$frac{x+3}{x^2(x-1)}=frac{A}{x}+frac{B}{x^2}+frac{C}{x-1}=frac{Ax(x-1)+B(x-1)+Cx^2}{x^2(x-1)}=\=frac{Ax^2-Ax+Bx-B+Cx^2}{x^2(x-1)}=frac{(A+C)x^2+(B-A)x-B}{x^2(x-1)}\\x+3=(A+B)x^2+(B-A)x-B$
Получили равенство двух многочленов.Один из них с числовыми коэффициентами, а другой с буквенными.Два многочлена равны тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях многочлена равны. Приравниваем коэффициенты при х^2, x и свободные члены ( которые являются коэффициентами при нулевой степени х).
 $x^2 ;;|;A+C=0\x;;;|;B-A=1\x^0;;|;-B=3\to B= -3,\-3-A=1,;;A= -4\-4+C=0,;;C=4\frac{x+3}{x^2(x-1)}=-frac{4}{x}-frac{3}{x^2}+frac{4}{x-1}$