Question

Помогите, пожалуйста! 80 баллов.
Решить дифференциальные уравнения и определить их типы.
1. ху'/у ln y=x^2 при у(0)=е

2. ху'=у+✓у^2+х^2

3. х^2у'-ху=1+х

Answer 1

$1)\; \; \frac{x\cdot y'}{y\cdot lny}=x^2\; ,\; \; \frac{dy}{dx\cdot y\cdot lny}=\frac{x^2}{x}\; ,\; \; \int \frac{dy}{y\cdot lny}=\int x\, dx\\\\\int\frac{d(lny)}{lny}=\int x\, dx\; \; \; [\; d(lny)=(lny)'dy=\frac{dy}{y}\; ]\\\\ln|lny|=\frac{x^2}{2}+C\\\\y(0)=e:\; \; ln|lne|=C\; ,\; ln1=C\; ,\; \; C=0\\\\Otvet:\; \; ln|lny|=\frac{x^2}{2}+0\; .$

$2)\; \; xy'=y+\sqrt{y^2+x^2}\; |:x\ne 0\\\\y'=\frac{y}{x}+\frac{\sqrt{y^2+x^2}}{x}\; ,\; \; y'=\frac{y}{x}+\sqrt{\frac{y^2+1}{x^2}}\; ,\; \; y'=\frac{y}{x}+\sqrt{\frac{y^2}{x^2}+1}\\\\t=\frac{y}{x}\; ,\; \; y=tx\; ,\; \; y'=t'x+t\\\\t'x+t=t+\sqrt{t^2+1}\; ,\; \; t'x=\sqrt{t^2+1}\; ,\; \frac{dt}{dx}=\frac{\sqrt{t^2+1}}{x} \\\\\int \frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}=\int \frac{dx}{x} \\\\ln|t+\sqrt{t^2+1}|=ln|x|+lnC\; \; \to \\\\\frac{y}{x}+\sqrt{\frac{y^2}{x^2}+1}=Cx$

$3)\; \; x^2y'-xy=1+x\; |:x^2\ne 0\\\\y- \frac{y}{x} =\frac{1+x}{x^2}\; ,\; \; y=uv\; ,\; \; y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'-\frac{uv}{x}=\frac{1+x}{x^2}\\\\u'v+u\underbrace {(v'-\frac{v}{x})}_{=0}=\frac{1+x}{x^2}\\\\a)\; \; \frac{dv}{dx}=\frac{v}{x}\; ,\; \; \int \frac{dv}{v}=\int \frac{dx}{x} \; ,\; \; ln|v|=ln|x|\; \; \to \; \; v=x\\\\b)\; \; u'\cdot v=\frac{1+x}{x^2}\; ,\; \; \frac{du}{dx}\cdot x=\frac{1+x}{x^2} \; ,\; \; \int du=\int \frac{1+x}{x^3}dx\\\\\int du=\int (\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^2})dx$

$u=\frac{x^{-4}}{-4}+\frac{x^{-3}}{-3}+C=-\frac{1}{4x^4}-\frac{1}{3x^3}+C\\\\c)\; \; y=uv=x\cdot (-\frac{1}{4x^4}-\frac{1}{3x^3}+C)$