Question

Помогите пожалуйста
ПРОИНТЕГРИРОВАТЬ
8) ∫ dx/1+sinx+cosx
заранее спасибо

Answer 1

Как Вам было сказано:
делаем универсальную тригонометрическую подстановку:
$t=tg \frac{x}{2}; dx= \frac{2dt}{1+ t^{2} } ; sinx= \frac{2t}{1+ t^{2} } ;cosx= \frac{1- t^{2}}{1+t^{2}} ;$
Интеграл тогда принимает вид:
$\int \frac{ \frac{2dt}{1+t^{2}} }{1+ \frac{2t}{1+ t^{2} }+\frac{1- t^{2}}{1+t^{2}}} = \int \frac{2dt} {(1+t^{2})+2t+(1- t^{2})} = \int \frac{2dt} {1+t^{2}+2t+1- t^{2}}= \\ \int \frac{2dt} {2+2t}= \int \frac{dt} {1+t}= \int \frac{d(1+t)} {1+t}= ln(1+t)+C$
и возвращаемся к х:
$=ln(1+tg \frac{x}{2} )+C=ln(1+ \frac{sinx}{1+cosx})+C= \\ =ln( \frac{1+sinx+cos}{1+cosx})+C= \\ =ln(C* \frac{1+sinx+cos}{1+cosx})$