Question

СРОЧНО
${3}^{2x + 4} + 45 \times {6}^{x} - 9 \times {2}^{2x + 2} = 0$

Answer 1

$\mathtt{9^{x+2}+45*6^x-9*4^{x+1}=0;~81*9^x+45*6^x-36*4^x=0;~}\\\mathtt{9*9^x+5*6^x-4*4^x=0;~\frac{9*9^x}{4^x}+\frac{5*6^x}{4^x}-\frac{4*4^x}{4^x}=0;~}\\\mathtt{9(\frac{9}{4})^x+5(\frac{6}{4})^x-4=0;~9(\frac{3}{2})^{2x}+5(\frac{3}{2})^x-4=0}$

произведём замену $[tex]\mathtt{(\frac{3}{2})^x=a,~a\ \textgreater \ 0}$[/tex], тогда $\mathtt{9a^2+5a-4=0}$

по теореме Виета находим корни: $\left[\begin{array}{ccc}\mathtt{a_1=-\frac{9}{9}}\\\mathtt{a_2=\frac{4}{9}}\end{array}\right$

$\mathtt{a_1}$ не удовлетворяет неравенству $\mathtt{a\ \textgreater \ 0}$, поэтому является ложным корнем. производим обратную замену: $\mathtt{(\frac{3}{2})^x=\frac{4}{9}=(\frac{2}{3})^2=(\frac{3}{2})^{-2},~\to~x=-2}$

ОТВЕТ: $\mathtt{x=-2}$

Answer 2

$3^{2x+4}+45*6^x-9*2^{2x+2}=0\\ 3^{2x}*3^4+45*6^x-9*2^{2x}*2^2=0\\3^{2x}*81+45*6^x-9*2^{2x}*4=0\\3^{2x}*81+45*6^x-36*2^{2x}=0\\3^{2x}*81+45*2^x*3^x-36*2^{2x}=0\\ \frac{3^{2x}*81}{2^x} +\frac{45*2^x*3^x}{2^x} -\frac{36*2^{2x}}{2^x} =0\\\frac{3^{2x}*81}{2^x}+45*3^x-36*2^x=0\\ \frac{3^{2x}*81}{6^x} +45-\frac{36*2^x}{3^x} =0\\2^x=a\\3^x=b\\\frac{b^2*81}{a*b} +45-\frac{36*a}{b} =0\\b^2*81+45ab-36*a^2=0\\9(b^2*9+5ab-4a^2)=0\\9(b+a)(9b-4a)=0\\9(3^x+2^x)(9*3^x-4*2^x)=0\\(3^x+2^x)(9*3^x-4*2^x)=0\\9*3^x-4*2^x=0$
$3^{x+2}=2^{x+2}\\(\frac{3}{2} )^{x+2}=1\\(\frac{3}{2} )^{x+2}=(\frac{3}{2} )^0\\x+2=0\\x=-2$
Выражение $3^x+2^x$ не имеет решений ,так как левая чать всегда имеет решения 
Так же там выже нужно написать $a \neq 0\\b \neq 0$