Question

Мистер Фокс загадал позиционную систему счисления и предложил вам отгадать ее. Он обозначил цифры символами (каждая цифра заменена одним символом, одинаковые цифры заменены одинаковыми символами) и сообщил, что # — это 1 в десятичной системе, #* — это 4 в десятичной системе, #@ — это 7 в десятичной системе. Чему равно @*# в десятичной системе счисления?

Answer 1

Тут довольно простое задание, которое можно решить просто подбором (найти правильное основание системы, и заодно выяснить что за цифры соответствуют остальным символам).
Я объясню немного подробнее логику рассуждений при таком решении.

Итак:
символ  #     это 1
запись   # *    это 4
запись   # @   это 7

Найти, чему равна запись  @ * #

Для того, чтобы это найти, нам надо узнать основание используемой здесь системы счисления. Обозначим его как x.
Вспомним, что основание системы счисления- это целое число не меньше двух (x ≥ 2).

Рассмотрим запись числа четыре:
$\#*=1*=1\cdot \textbf x^1+(*) \cdot \textbf x^0=\textbf x+(*)=4$
(это перевод числа из системы с основанием x в десятичную)
Раз запись числа 4 состоит из двух разрядов, значит основание системы не может быть больше четырёх (x≤4).
Ведь уже при основании пять (x = 5)  вес второго разряда числа был бы равен пяти ($x^1=5^1=5$), и всё число было бы явно больше четырёх.

Далее, рассмотрим запись числа семь:
$\#@=1@=1\cdot \textbf x^1+@ \cdot \textbf x^0=\textbf x+@=7$
Мы видим, что второй разряд не изменился- здесь тоже стоит единица. А само число увеличилось на три (7 - 4 = 3). Значит, на три увеличилась цифра в первом разряде (была *, стала @). То есть, $(*)+3=@$

Итак, основание- это целое число, не меньше двух и не больше четырёх. Подходят всего три числа- 2, 3, 4.
В каком из этих оснований системы можно прибавить к цифре три без переноса в следующий разряд?
если основание 2 -то есть всего две цифры:  0 и 1
если основание 3 -то есть три цифры: 0, 1 и 2
если основание 4 -то четыре цифры: 0, 1, 2 и 3
Такие цифры используются в одном разряде. И, если при сложении мы выходим за эти цифры, то произойдёт перенос в следующий разряд (чего у нас не было, во втором разряде осталась единица).

Получается, что в пределах одного разряда, тройку можно прибавить только в системе с основанием 4, причём только в одном случае (0 + 3 = 3).
Значит:
символ  *  это 0
символ  @  это 3
а основание системы счисления равно четырём

Осталось перевести запись @ * #  из четверичной в десятичную систему счисления:
$@\hspace{-0.4mm}*\hspace{-0.6mm}\#=301_4=3\cdot 4^2+0\cdot 4^1+1\cdot 4^0=3\hspace{-0.4mm} \cdot \hspace{-0.6mm} 16+0\hspace{-0.4mm} \cdot \hspace{-0.4mm} 4+1\hspace{-0.4mm} \cdot \hspace{-0.4mm} 1=48+0+1=49$

Ответ: 49

Answer 2

Пускай р - основание сс
Раз для 4 уже понадобилось 2 позиции, то р <= 4
Дальше перебираем сс
2чная: 4_10 = 100_2 - уже больше 2 разрядов, не подходит
3чная: 4_10 = 11_3 - одинаковые символы, а в задании разные, не подходит
4чная: 4_10 = 10_4 - подходит, и больше вариантов у нас нет

7_10 = 13_4
Значит:
@ = 3
* = 0

@*# = 301_4 = 3*4*4+1 = 49_10