Question

Вычислить интеграл (первое вообще не выходит, второй решен, но неизвестно верно или нет, в третьем могу построить только график). Заранее спасибо.

Answer 1

$\displaystyle \int\frac{lnx}{\sqrt[5]{x}}dx=\frac{5lnx\sqrt[5]{x^4}}{4}-\frac{5}{4}\int\frac{1}{\sqrt[5]{x}}=\frac{5lnx\sqrt[5]{x^4}}{4}-\frac{25\sqrt[5]{x^4}}{16}+C\\\\\\u=lnx;du=\frac{1}{x}\\dv=\frac{1}{\sqrt[5]{x}}dx;v=\frac{5\sqrt[5]{x^4}}{4}$

$\displaystyle\int\limits^1_0\frac{x^4dx}{4x^5+2}=\frac{1}{20}\int\limits^1_0\frac{d(4x^5+2)}{4x^5+2}=\frac{1}{20}ln|4x^5+2||^1_0=\frac{1}{20}(ln6-ln2)=\\=\frac{ln3}{20}\approx0,055$

$\displaystyle S=S_1+S_2\\S_1=\int\limits^1_0(8-x^2)dx=(8x-\frac{x^3}{3})|^1_0=8-\frac{1}{3}=7\frac{2}{3}\\S_2=\int\limits^2_1(\frac{8}{x}-x^2)dx=(8ln|x|-\frac{x^3}{3})|^2_1=8ln2-\frac{8}{3}+\frac{1}{3}=8ln2-2\frac{1}{3}\\S=8ln2+7\frac{2}{3}-2\frac{1}{3}=8ln2+5\frac{1}{3}\approx10,879$