Question

Решить дифференциальные уравнения первого порядка. Однородные и линейные.

1) (xy-x²)y'-y²=0 (Однородное уравнение)

2) y'=$\frac{xy}{x^{2} -y^{2}}$ (Однородное уравнение)

3) xy'-2y=x+1 (Линейное уравнение)

4) y'cos²x+y=tgx (Линейное уравнение)

Answer 1

1) (xy-x²)y'-y²=0
Перед нами однородное уравнение. Проверяется просто. В исходное уравнение вместо х подставляем $\lambda x$, вместо у подставляем $\lambda y$, производную не трогаем.
$(xy-x^2)y'-y^2 = (\lambda x * \lambda y - (\lambda x)^2)*y' - (\lambda y)^2 = \\ \\ = \lambda ^2 ((xy-x^2)y'-y^2) = 0$
Как видим, лямбда сокращается, следовательно дифференциальное уравнение однородное.
Решается уравнение заменой: y(x) = t(x) * x, или сокращённо y = tx. Т.к. функция t(x) зависит от икс, то производная как от сложной функции:
y' = t' * x + t
Вот это и подставляем в исходное уравнение и решаем:
$(xy-x^2)y'-y^2 = 0 \\ \\ (x*t*x - x^2)*(t'*x+t) -t^2*x^2= 0 \\ \\ x^2(t-1)*(t'*x+t)=t^2*x^2 \\ \\ (t-1)*(t'*x+t)=t^2 \\ \\ t'tx+t^2-t'x-t=t^2 \\ \\ t'x(t-1) = t \\ \\ \frac{t-1}{t} t' = \frac{1}{x} \\ \\ \frac{t-1}{t} dt = \frac{dx}{x} \\ \\ \int\limits {\frac{t-1}{t} } \, dt = \int\limits { \frac{1}{x} } \, dx \\ \\ \int\limits {(1 -\frac{1}{t}) } \, dt = \int\limits { \frac{1}{x} } \, dx \\ \\ t - lnt = lnx + lnC \\ \\ \frac{y}{x} - ln \frac{y}{x} = lnCx$
Сделали обратную замену t = y/x, а решение лучше оставить в таком виде, как получилось

2. $y' = \frac{xy}{x^2-y^2}$
Однородность диффура проверяется аналогично предыдущему. Подстановка тоже аналогична.
$y' = \frac{xy}{x^2-y^2} \\ \\ t'x + t = \frac{tx^2}{x^2-t^2x^2} = \frac{t}{1-t^2} \\ \\ t'x + t -\frac{t}{1-t^2} = 0 \\ \\ t'x + \frac{t-t^3-t}{1-t^2} =t'x - \frac{t^3}{1-t^2} = 0 \\ \\ t'x = \frac{t^3}{1-t^2} \:\:\:\:\:\:\:\: \frac{1-t^2}{t^3} t' = \frac{1}{x} \\ \\ \frac{1-t^2}{t^3} dt = \frac{dx}{x} \\ \\ \int\limits {\frac{1-t^2}{t^3}} \, dt = \int\limits { \frac{1}{x} } \, dx \\ \\ \int\limits {(t^{-3}- \frac{1}{t})} \, dt = \int\limits { \frac{1}{x} } \, dx$
$\\ \\ - \frac{1}{2} t^{-2} -lnt = lnx+lnC \\ \\ - \frac{1}{2} \frac{x^2}{y^2} - ln \frac{y}{x} = lnCx$


3) xy'-2y=x+1
Линейное уравнение решается подстановкой y(x) = u(x)*v(x), или сокращённо y = u*v. Производная равна y' = u'*v + u*v'.
Делаем замену и решаем.
$xy'-2y=x+1 \\ \\ y' - \frac{2y}{x} = \frac{x+1}{x} \\ \\ u'*v + u*v' - \frac{2u*v}{x} =\frac{x+1}{x} \\ \\ u'*v + u*(v' - \frac{2v}{x}) =\frac{x+1}{x} \\ \\ \\ 1) \:\: v'- \frac{2v}{x} = 0 \\ 2) \:\: u'*v = \frac{x+1}{x}$
Составляем систему уравнений (см. выше). Сначала решается первое.
$1) \:\: v'- \frac{2v}{x} = 0 \:\: \: \:\: v' = \frac{2v}{x} \\ \\ \frac{v'}{v} =\frac{2}{x} \:\: \: \:\: \frac{dv}{v} = \frac{2dx}{x} \\ \\ \int\limits { \frac{1}{v} } \, dv = \int\limits { \frac{2}{x} } \, dx \\ \\ lnv = 2lnx \:\: \: \:\: v = x^2$
Полученное решение подставляем во второе уравнение и решаем его:
$u'*v = \frac{x+1}{x} \\ \\ u'*x^2 =\frac{x+1}{x} \\ \\ u' = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2} \\ \\ du = (x^{-2}+ x^{-3})dx \\ \\ \int\limits {} \, du = \int\limits {(x^{-2}+ x^{-3})} \, dx \\ \\ u = - \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} +C$
Собираем решения:
$y = u*v = (- \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} +C) * x^2 = -x -2 +Cx^2$

$4) \:\:\:\: y'cos^2x+y = tgx$
Решается аналогично предыдущему.
$y'cos^2x+y = tgx \\ \\ y' + \frac{y}{cos^2x} = \frac{tgx}{cos^2x} \\ \\ u'v+uv'+\frac{uv}{cos^2x} = \frac{tgx}{cos^2x} \\ \\ u'v+u(v'+\frac{v}{cos^2x}) = \frac{tgx}{cos^2x} \\ \\ \\ 1) \:\:\: v'+\frac{v}{cos^2x} = 0 \\ \\ 2) \:\:\: u'v = \frac{tgx}{cos^2x} \\ \\ \\ v'+\frac{v}{cos^2x} = 0 \:\:\:\:\:\: v' = - \frac{v}{cos^2x} \\ \\ \frac{dv}{v} = - \frac{dx}{cos^2x} \\ \\ lnv = -tgx \\ \\ v = e^{-tgx} \\ \\ \\ u'v = \frac{tgx}{cos^2x} \\ \\ u'e^{-tgx} = \frac{tgx}{cos^2x}$
$u' = e^{tgx} * \frac{tgx}{cos^2x} \\ \\ u = \int\limits {e^{tgx}*\frac{tgx}{cos^2x}} \, dx \:\:\:\:\:\: [t=tgx; \:\:\:\:\:\: dt = \frac{dx}{cos^2x}] \\ \\ u = \int\limits {e^{t}* t} \, dt = e^t *t - \int\limits {e^t} \, dt = e^t*t - e^t = e^t*(t-1) +C = \\ \\ \\ f = t; \:\:\:\:\:\: df = dt; \:\:\:\:\:\: dg = e^t dt; \:\:\:\:\:\: g = e^t \\ \\ \\ = e^{tgx}(tgx-1) + C$
Собираем решения:
$y = uv = (e^{tgx}(tgx-1) + C) * e^{-tgx} = C*e^{-tgx} + tgx - 1$

22