Question

Помогите решить. Векторы

Answer 1

Даны: |a| = 1, |b|=2, a^b = π/6 = 30°
Найти угол между векторами с = 3a + b и d = a+2b

Решение
Используем формулу скалярного произведения векторов
                                       (c,d) = |c|*|d| cos(c^d)
где (с,d)-скалярное произведение,|c|- длина вектора с,|d|- длина вектора d
откуда
                                        cos(c^d)=(c,d)/(|c|*|d|)


                               (c,d) = (3a + b)(a + 2b)= 3(a,a) + 7(a,b) + 2(b,b)

                                                         (a,a) = 1² = 1, (b,b) = 2² = 4 ,
                      (a,b) = |a|*|b| cos(a^b) = 1*2*cos(π/6) = 2*(√(3)/2) = √3,
 где (a^b)-угол между векторами a и b равный π/6.
                                                 (c,d) = 3*1 + 7*√3 + 2*4 = 11 + 7√3
|c|=√(c,c)=√(3a+b,3a+b)=√(9(a,a)+6(a,b)+(b,b))=√(9*1+6√3+4) = √(13+6√3)
$|c|= \sqrt{(c,c)}= \sqrt{(3a+b,3a+b)}= \sqrt{9(a,a)+6(a,b)+(b,b)}=$$\sqrt{9*1+6 \sqrt{3}+4} = \sqrt{13+6 \sqrt{3}}$

Аналогично:
|b| =√(b,b)=√((a+2b),(a+2b)=√((a,a)+4(a,b)+4(b,b))=√(1+4√3+4*4)=√(17+4√3)
$|b| = \sqrt{(b,b)}= \sqrt{(a+2b),(a+2b)}= \sqrt{(a,a)+4(a,b)+4(b,b)}=$$\sqrt{1+4 \sqrt{3} +4*4}= \sqrt{17+4 \sqrt{3}}$

              cos(c^d)=(c,d)/(|c|*|d|) =(11+7√3)/(√(13+6√3)√(17+4√3) =
                          =(11+7√3)/√(293+154√3)≈0,9774129
$cos(c,d)= \frac{(c,d)}{|c|*|d|} = \frac{11+7 \sqrt{3} } {\sqrt{13+6 \sqrt{3}} *\sqrt{17+4 \sqrt{3}}} =\frac{11+7 \sqrt{3} } {\sqrt{293+154 \sqrt{3}}}$
                     с^d =arccos(0,9774129) = 12,2°