Question

в коробке находится 7 белых, 5 зеленых и 4 голубых шарика. Сколько существует способов извлечь из коробки три шарика так, чтобы по крайней мере два шарика среди них были одного цвета?
А) 224
Б) 252
В) 308
Г) 364
Д) 420

Answer 1

Рассмотрим случаи, когда извлеченные шары одинакового цвета.
3 белых шара - сочетание из 7 по 3:
$C_7^3= \dfrac{7\cdot6\cdot5}{1\cdot2\cdot3} =7\cdot5=35$
3 зеленых шара - сочетание из 5 по 3:
$C_5^3= \dfrac{5\cdot4\cdot3}{1\cdot2\cdot3} =5\cdot2=10$
3 голубых шара - сочетание из 4 по 3:
$C_4^3= \dfrac{4\cdot3\cdot2}{1\cdot2\cdot3} =4$

Рассмотрим случаи, когда два извлеченных шара одинакового цвета, а третий отличается от них.
2 белых шара + 1 зеленый или голубой: сочетание из 7 по 2, умноженное на количество не белых шаров (5+4):
$C_7^2\cdot (5+4)= \dfrac{7\cdot6}{1\cdot2} \cdot 9=7\cdot3\cdot9=189$
2 зеленых шара + 1 белый или голубой: сочетание из 5 по 2, умноженное на количество не зеленых шаров (7+4):
$C_5^2\cdot (7+4)= \dfrac{5\cdot4}{1\cdot2} \cdot 11=5\cdot2\cdot11=110$
2 голубых шара + 1 белый или зеленый: сочетание из 4 по 2, умноженное на количество не голубых шаров (7+5):
$C_4^2\cdot (7+5)= \dfrac{4\cdot3}{1\cdot2} \cdot 12=2\cdot3\cdot12=72$

Находим сумму всех возможных вариантов:
$35+10+4+189+110+72=420$
Ответ: 420 способов