Question

Докажите , что 7*7^(2n)+2*4^n при любых n€N(n-натуральных) кратно 3.

Answer 1

докажем методом математической индукции
1)n=1
7*7^2+2*4^1=343+8=351=3*117    верно, кратно 3

2)допустим, что верно при n=k
7*7^(2k)+2*4^k     кратно 3

3)докажем, что верно при n=k+1

7*7^(2k+2)+2*4^(k+1)=
=7*7^(2k)*7^2+2*4^k*4=
=7*7^(2k)*(1+48)+2*4^k*(3+1)=
=7*7^(2k)+48*7*7^(2k)+2*4^k+2*4^k*3=
=(7*7^(2k)+2*4^k)+(3*16*7*7^(2k))+(3*2*4^k)
  ----------------------   --------------------  ------------
  кратно 3                кратно 3          кратно 3 (один из множителей равен 3)
выражение в каждой из скобок кратно 3