Question

x=y^2-4y,x=0,y=3 найти объём тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Oy

Answer 1

$x(y)=y^2-4y\\\\x=(y-2)^2-4\; \; \to \; \; \; x+4=(y-2)^2\; ,\\\\vershina\; (-4,2)\; ,\; \; vetvi\; vpravo\\\\x=0\; \; \to \; \; 0=y^2-4y\; ,\; y(y-4)=0\; ,\; y_1=0\; ,\; y_2=4\\\\V_{oy}=\pi \int \limits _{ \alpha }^{ \beta }x^2(y)\, dy=\pi \int \limits _{3}^4(y^2-4y)^2dy=\pi \int\limits^4_3(y^4-8y^3+16y^2)\, dy=\\\\=\pi \cdot (\frac{y^5}{5}-2y^4+\frac{16y^3}{3} )\Big |^4_3=\\\\=\pi \cdot (204,8-512+\frac{1024}{3}-48,6+162-\frac{432}{3})=\pi \cdot \frac{53}{35}$