Question

Доказать что вектора а b c создают базис и розложить вектор альфа за этим базисом.
вектор а=(-3;0;1) b=(2;7;-3) c=(-4;3;5) альфа=(-16;33;13)

Answer 1

$\vec{a}=(-3,0,1)\; ,\; \; \vec{b}=(2,7,-3)\; ,\; \; \vec{c}=(-4,3,5)\; ,\; \; \vec{ \alpha }=(-16,33,13)$

Вычислим определитель матрицы, составленный из координат векторов:

$\left|\begin{array}{ccc}-3&2&-4\\0&7&3\\1&-3&5\end{array}\right |=-3(35+9)-2(-3)-4(-7)=-98\ne 0\; \to$

Определитель не равен 0, значит векторы  a, b , c  ЛНЗ (линейно независимы), а значит векторы могут быть приняты в качестве базиса пространства.
Пусть вектор альфа имеет координаты  $\alpha =(x,y,z)$ , тогда 
разложим его по базису  a , b , c . Будем иметь:

$\vec{\alpha }=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}\\\\\left\{\begin{array}{rrr}-3x+2y-4z=-16\\7y+3z=33\\x-3y+5z=13\end{array}\right \\\\\\\left(\begin{array}{lcll}1&-3&5&|13\\0&7&3&|33\\-3&2&-4&|-16\end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{lcll}1&-3&5&|13\\0&7&3&|33\\0&-7&11&|23\end{array}\right)\sim \\\\\\\sim \left(\begin{array}{cccc}1&-3&5&|13\\0&7&3&|33\\0&0&14&|56\end{array}\right)\; \; \to \; \; 14z=56\; ,\; z=4\\\\\\7y+3z=33\; ,\; \; 7y=33-3z=33-12=21\; ,\; y=3\\\\x-3y+5z=13\; ,\; x=13+3y-5z=13+9-20=2$

$\vec{ \alpha }=2x+3y+4z$