Question

Помогите
8sin x-15 cos x =17

Answer 1

Используем универсальную подстановку.

Решить уравнение 8sin x – 15cos x = 17.

Здесь возможны 2 случая:

x ≠ (2k + 1)*π  ,
тогда, воспользовавшись тригонометрическими формулами, получим:

8[(2tg(x/2))/(1 + tg² (x/2)] - 15[(1 – tg² (x/2))/(1 + tg² (x/2)] = 17.

16tg(x/2) – 15 + 15tg² (x/2) = 17 + 17tg² (x/2).

Делаем замену tg(x/2) на y и получаем квадратное уравнение:

2y² - 16y + 32 = 0   или y² - 8y + 16 = 0.

корень которого y1 =  y2 = 4

Делаем обратную замену и получаем одно простейшее уравнение:

tg(x/2) = 4, отсюда получаем ответ:

х =2arctg 4 + 2 πk, k ∈ Z.

Если x = (2k + 1)*π ,

тогда 8sin[(2k +1)*π] – 15cos[(2k + 1)*π] = 15 ≠ 17.

Получаем – решение имеет только первое условие.