Question

  1)Четыре утёнка и пять гусят весят 4 кг 100г,а пять утят и четыре гусёнка весят 4кг.Сколько весит один гусёнок?                                                             2)Дана последовательность натуральных чисел 1,2,3,....2007,2008,2009,2010.Разрешается зачёркивать любые два числа и записывать вместо них их разность.Доказать,что если в конце остался  один нуль,то где-то была допущена ошибка.

Answer 1

1) Пусть Х - масса одного утёнка, кг
               У - масса одного гуся, кг

Тогда можно составить систему уравнений
$left { begin{array}{ccc}4x+5y=4,1\5x+4y=4end{array}right| begin{array}{ccc}*5\ *4end{array}$

$left { begin{array}{ccc}20x+25y=20,5\20x+16y=16end{array}right$

Вычтем из первого уравнения втрое
$9y=4,5 \ \ y=0,5$

Ответ: масса оного гусёнка 0,5 кг или 500 г 


2) Дана последовательность натуральных чисел
1,2,3,....2007,2008,2009,2010

1 способ

Учитывая, что ряд заканчивается четным числом, значит количество четных и нечетных чисел одинаковое, т.е.
2010 / 2 = 1005 шт. - нечётное число

Таким образом:

1) Вычеркивая в любом порядке только одни чётные числа, полученная разность любого их количества - есть число чётное

2) Вычеркивая в любом порядке только одни нечётные числа, полученная разность их нечётного количества - есть число нечётное

3) Вычеркивая в любом порядке только одно чётное и одно нечётные число, полученная разность их нечётного количества - есть число нечётное

4) В результате вычеркивания в конце всегда остается одно число чётное и одно число нечётное, а их разница - есть число нечётное и не может быть равно нулю! 

Значит если в конце останется один нуль,то где-то была допущена ошибка. Что и требовалось доказать!


2 способ.
Дана последовательность натуральных чисел
1,2,3,....2007,2008,2009,2010 - данный ряд представляет собой арифметическую прогрессию, где
$a_1 = 1 ; a_2 = 2010 ; n = 2010$

Найдем сумму арифметической прогрессии
$S_{n} = frac{(a_1 + a_{n})}{2} * n = frac{( 1 + 2010)}{2} * 2010 = 2011 * 1005 = 2021055$ - нечётное число!

Сумма арифметической прогрессии и это же утверждении справедливо и для разности - есть всегда число нечётное, таким образом в конце не может остаться один нуль, т.к. ноль число чётное!
Что и требовалось доказать!