Question

4. Прямая СД перпендикулярна плоскости остроугольного треугольника АВС. СК - его высота. Докажите, что прямые ДК и АВ взаимно перпендикулярны. Найдите расстояние от точки А до плоскости ДКС, если ДА = √(2) см, а ДАК = 45°.
5. В треугольнике АВС АС = ВС = 10 см, В = 30°. Прямая ВД перпендикулярна плоскости треугольника, ВД = 5 см. Найдите расстояние от точки Д до прямой АС и расстояние от точки В до плоскости АДС.

Answer 1

4.
CD⊥ (ΔABC)  ⇒  CD⊥CA;  CD⊥CB
CK⊥AB - высота ΔABC  ⇒ 
DK⊥AB по теореме о трех перпендикулярах.  ⇒
(DKC)⊥(ABC)   ⇒   расстояние от точки А до плоскости DKC будет равно длине перпендикуляра AK
ΔDKA - прямоугольный, ∠DKA = 90°; ∠DAK = 45° ⇒ 
AK = DA*cos∠DAK = √2*(√2/2) = 1
Ответ: расстояние от точки А до плоскости DKC равно 1 см

5. DB⊥(ΔABC)  ⇒  DB⊥BA;  DB⊥BC
ΔABC: АС = ВС = 10 см, ∠В = 30° ⇒
ΔABC - равнобедренный, ∠A=∠B = 30°; 
∠BCA = 180°-2*30°=120°  ⇒  высота BK⊥AС лежит вне треугольника

ΔBKC - прямоугольный: ∠BKC = 90°; BC = 10см
∠BCK = 180° - ∠BCA = 60°  ⇒ 
BK = BC*sin∠BCA = 10*√3/2 = 5√3 см

ΔDBK - прямоугольный:  ∠DBK = 90°
DB = 5 см;   BK = 5√3 см 
По теореме Пифагора
DK² = DB² + BK² = 5² + (5√3)² = 100
DK = 10 см
DB⊥BK; BK⊥AC ⇒ DK⊥AC (по теореме о трех перпендикулярах)  ⇒
DK = 10 см - расстояние от точки D до прямой AC
Высота BM
$BM = \frac{BD*BK}{DK} = \frac{5*5 \sqrt{3} }{10} =2,5 \sqrt{3}$ см

Так как (ΔDBK)⊥(ADK) ⇒
BM = 2,5√3 см  - расстояние от точки В до плоскости ADC

Ответ: расстояние от точки D до прямой AC 10 см;
           расстояние от точки В до плоскости ADC   2,5√3 см