Question

$\int\ { \frac{x+5}{x^2+x-2} } \, dx$
помогите пожалуйста

Answer 1

∫(х+5)dх/(х²+х-2)=             разобьём знаменатель на множители
∫(х+5)dх/(х+2)(х-1)=          представим внутреннее выражение в виде суммы
∫(числАзнам(х+2)   +    числВзнам(х-1))dх    а теперь приплюсуем
∫числ(Ах-А+Вх+2В)dхзнам(х+2)(х-1)=     помня, что А+В=1, а -А+2В=5,                                                                             находим А и В (А=-1,В=2)
 ∫2dх/(х-1)  - ∫dх/(х+2)=             воспользуемся таблицей интегралов
2㏑|x-1|-㏑|х+2|+С=                  упростим
㏑(x-1)²-㏑|х+2|+С=                  ещё упростим - и получим
㏑(x-1)²/(х+2)   +С.

Answer 2

x²+x-2=(x+2)(x-1)
x1+x2=-1 U x1*x2=-2⇒x1=-2 U x2=1
(x+5)/(x²+x-2)=(x+5)/(x+2)(x-1)=A/(x+2)+B/(x-1)=[x(A+B)+(2B-A)]/(x+2)(x-1)
{A+B=1
{2B-A=5
прибавим
3B=6
B=2
A=-1
∫(x+5)dx/(x²+x-2)=∫(2/(x-1)-1/(x+2)dx=2ln(x-1)-ln(x+2)+C=ln[(x-1)²/(x+2)]+C