Question

Найти общие и частные решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка (у=uv)

Answer 1

6)
$y'- \frac{1}{x+1} y=e^x(x+1) \\ y=uv \\ u'v+uv'- \frac{uv}{x+1} =e^x(x+1) \\ \left \{ {{v'- \frac{v}{x+1}= 0} \atop {u'v=e^x(x+1)}} \right. \\\\ \frac{dv}{dx} - \frac{v}{x+1}= 0 \\ \frac{dv}{dx} = \frac{v}{x+1} \\ \frac{dv}{v} = \frac{d(x+1)}{x+1} \\ ln v=ln(x+1) \\ v=x+1 \\\\ \frac{du}{dx} (x+1)=e^x(x+1) \\ du=e^xdx \\ u=e^x+C \\\\ y=uv=(e^x+C)(x+1) \\\\ (e^0+C)(0+1)=1 \\ 1+C=1 \\ C=0 \\ Y=e^x(x+1)$

7)
$y'- \frac{y}{x} =xsinx \\ y=uv \\ u'v+uv'- \frac{uv}{x} =xsinx \\\\ \left \{ {{v'- \frac{v}{x} =0} \atop {u'v=xsinx}} \right. \\\\ \frac{dv}{dx}= \frac{v}{x} \\ \frac{dv}{v}= \frac{dx}{x} \\lnv=lnx \\ v=x \\\\ u'x=xsinx \\ \frac{du}{dx} =sinx \\ du=sinxdx \\ u=-cosx +C \\\\ y=uv=x(C-cosx) \\\\ \frac{ \pi }{2} (C-cos\frac{ \pi }{2})=1\\ \frac{ \pi }{2}*C=1\\C= \frac{2}{ \pi } \\\\ Y=x( \frac{2}{ \pi } -cosx)$

8)
$y'+ \frac{y}{x} =sinx \\ y=uv \\ u'v+uv'+\frac{uv}{x}=sinx \\\\ \left \{ {{v'+\frac{v}{x}=0} \atop {u'v=sinx}} \right. \\\\ \frac{dv}{dx}+\frac{v}{x}=0\\ \frac{dv}{dx}=-\frac{v}{x}\\ \frac{dv}{v}=-\frac{dx}{x}\\ ln v=-ln x \\lnv=ln\frac{1}{x} \\ v=\frac{1}{x} \\\\ \frac{u'}{x}=sinx \\ \frac{du}{dx} =xsinx \\ u=sinx-xcosx+C \\\\ y=uv= \frac{sinx-xcosx+C}{x} \\\\ \frac{sin \pi - \pi cos \pi +C}{ \pi } = \frac{1}{ \pi } \\ \frac{C}{ \pi }= \frac{1}{ \pi }-1 \\ C=1-\pi$
$Y=\frac{sinx-xcosx+1-\pi}{x}$

Answer 2

С другим оформлением решение...