Question

Найдите наименьшее натуральное число, которое записыватся одинаковыми цифрами и делится на 693

Answer 1

693 = 7 * 9 * 11
Пусть искомое число состоит из N цифр B:   BВ...ВВ(N цифр)
1) Признак делимости на 11: знакочередующаяся сумма цифр B-B+B-B... должна делиться на 11. Так как цифра B на 11 не делится, то цифр должно быть четное количество, тогда сумма равна 0 ⇒  N = 2k; k∈N
2) Ближайшее к 693 число с четным количеством цифр BBBB
    Признак делимости на 9: сумма цифр должна делиться на 9
    Сумма цифр 4B кратна 9, только при В=9:  9999 (на 7 не делится)
3) Следующее четное количество цифр:  BBBBBB
    Признак делимости на 7: число из последних трех цифр вычесть из числа без последних трех цифр - разность должна быть кратна 7
    ВВВ - ВВВ = 0  - ЛЮБОЕ шестизначное число из одинаковых цифр кратно 7
    Сумма цифр 6B кратна 9 при B=3, B=6 или B=9
    По условию нужно найти наименьшее натуральное число: 333333

Ответ: наименьшее натуральное, кратное 693: 333333