Question

Треугольник АВС, BD - биссектриса, АВ=5, ВС=8, угол ABC=45°, нужно найти площади ABD и BDC

Answer 1

$S_{ABC}=frac{1}{2}ABcdot BCcdot sinfrac{pi}{4}=10sqrt{2}$

Как известно, биссектриса делит сторону AC на отрезки AD и DC, пропорциональные боковым сторонам, то есть

$frac{AD}{DC}=frac{5}{8}.$

А поскольку в треугольниках ABD и DBC высоты, опущенные из вершины B, совпадают,

$frac{S_{ABD}}{S_{DBC}}=frac{AD}{DC}=frac{5}{8},$

то есть площадь треугольника ABD составляет пять частей, а площадь треугольника DBC - восемь частей площади треугольника abc. Поэтому

$S_{ABD}=frac{5}{13}S_{ABC}=frac{5}{13}cdot 10sqrt{2}=frac{50}{13}sqrt{2};$

$S_{DBC}=frac{8}{13}cdot 10sqrt{2}=frac{80}{13}sqrt{2}$