Question

Найти наибольшую площадь ромба, сумма длин диагоналей которого равна 12 см (С решением)

Answer 1

Пусть диагонали ромба равны $d_1,~ d_2.$ Площадь ромба $S=dfrac{d_1cdot d_2}{2}$

Для положительных $d_1>0,~ d_2>0$ применим неравенство Коши

$d_1+d_2geq 2sqrt{d_1d_2}\ \ sqrt{d_1d_2}leq 6\ \ d_1d_2leq 36$

И это неравенство достигает максимума при $d_1=d_2=6$ см.

Наибольшая площадь: $S=dfrac{6cdot 6}{2}=18$ см²

II способ.

По условию, $d_1+d_2=12$ откуда $d_2=12-d_1$. Рассмотрим функцию: $f(d_1)=dfrac{d_1(12-d_1)}{2}=dfrac{12d_1-d_1^2}{2}$

Графиком функции есть парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы достигает максимума.

$d_1=-dfrac{b}{2a}=dfrac{12/2}{2cdot 1/2}=6$ см

Тогда $d_2=12-6=6$ см

Площадь S = 18 см²

Ответ: 18 см²