Question

Решите уравнение $sqrt{2 x^{2} -4x+3} + sqrt{3 x^{2} -6x+7} =2+2x- x^{2}$

Answer 1

Перепишем уравнение в виде:

$sqrt{2bigg(x^2-2xbigg)+3} + sqrt{3bigg(x^2-2xbigg)+7} =2-bigg(x^2-2xbigg)$

Произведем замену переменных. Пусть $x^2-2x=t$ в результате замены получим уравнение относительно t

$sqrt{2t+3} + sqrt{3t+7} =2-t$

или   $sqrt{2t+3} + sqrt{3t+7}+t=2$   $(star)$

Рассмотрим функцию $f(t)=sqrt{2t+3} + sqrt{3t+7}+t$. Функция является возрастающей, как сумма трех возрастающих функций. И рассмотрим прямую $y=2$, которая параллельная оси абсцисс.

Пользуемся теоремой, которая говорит следующее:

Если на некотором промежутке функция f(x) возрастает (или убывает), то  уравнение f(x)=a на этом промежутке имеет единственный корень либо не имеет корней (a — постоянная величина (число)).

Путем подбора можно достоверно убедиться, что корень t=-1 является решением уравнения $(star).$

Выполнив обратную замену $x^2-2x=-1$ находим $(x-1)^2=0,~~~ x=1.$


ОТВЕТ: х=1.

Answer 2

Решение поправил