Question

Найти значения а, при каждом из которых уравнение
ax^2+2(a+3)x+(a+4)=0
имеет два корня, расстояние между которыми больше 2

Answer 1

Два корня будет, если дискриминант будет больше нуля:

$ax^2+2(a+3)x+(a+4)=0 \ \ D = (a+3)^2 - a(a+4) = a^2+6a+9 -a^2-4a = 2a +9 textgreater 0 \ \ a textgreater -4,5$

Также один корень будет, если а = 0 и квадратное уравнение превратится в линейное.

Расстояния между корнями больше 2. Напишем сначала, чему равны корни:
$x_1 = -(a+3) + sqrt{2a+9} \ \ x_2 = -(a+3) - sqrt{2a+9}$

Найдём модуль разницы между корнями - это и будет искомое расстояние:
$|x_1 - x_2| = |frac{-(a+3) + sqrt{2a+9} }{a} + frac{(a+3) + sqrt{2a+9} }{a}| = | frac{2sqrt{2a+9} }{a}| textgreater 2 \ \ |frac{sqrt{2a+9}}{a} | textgreater 1 \ \ frac{sqrt{2a+9}}{|a|} textgreater 1 \ \ a textgreater 0; sqrt{2a+9} textgreater a; 0 textless x textless 1+ sqrt{10} \ \ a textless 0; sqrt{2a+9} textless a; 1- sqrt{10} textless x textless 0$

Ответ: a ∈ (1- sqrt{10}; 0) ∪ (0; 1+ sqrt{10})

Answer 2

Вы забыли корни разделить на а

Answer 3

Если откроют для изменения, то заменю решение.

Answer 4

почему когда вы корни находили поделили на а когда надо было на 2а

Answer 5

Когда коэффициент b чётный, то можно воспользоваться соответствующей формулой, где числитель и знаменатель разделены на 2. Соответственно под корнем не минус 4ас, а просто ас.

Answer 6

ax^2 + 2(a+3)x + (a+4) = 0
Во-первых, при а = 0 квадратное уравнение вырождается в линейное
6x + 4 = 0; x = -2/3 - один корень, что нам не подходит.
Во-вторых, при а не = 0 имеем
D/4 = (a + 3)^2 - a(a + 4) = a^2 + 6a + 9 - a^2 - 4a = 2a + 9
При a < -9/2 будет D < 0, корней нет. Не подходит.
При a = -9/2 будет D = 0, тогда будет 1 корень (точнее, 2 равных корня).
x = -(a+3)/a = -(-9/2 + 3) / (-9/2) = (-3/2)*2/9 = -1/3. Не подходит.
При a > -9/2 будет 2 разных корня
$x1= frac{-(a+3)- sqrt{2a+9} }{a}$
$x2 = frac{-(a+3)+ sqrt{2a+9} }{a}$
Нам нужно, чтобы расстояние между корнями было больше 2
|x1 - x2| > 2
Возможно 2 случая

1) x1 > x2, тогда |x1 - x2| = x1 - x2
x1 - x2 > 2
$frac{-(a+3)- sqrt{2a+9} }{a} -frac{-(a+3)+ sqrt{2a+9} }{a} textgreater 2$
$frac{-(a+3)+(a+3)- sqrt{2a+9}-sqrt{2a+9} }{a}-2 textgreater 0$
$frac{- 2sqrt{2a+9}-2a }{a} textgreater 0$
Делим все на (-2)
$frac{sqrt{2a+9}+a }{a} textless 0$
Корень арифметический, то есть неотрицательный.
Поэтому, если a > 0, то и числитель и знаменатель > 0, решений нет.
Если a ∈ (-9/2; 0) по области определения, то
√(2a + 9) + a > 0
√(2a + 9) > -a
2a + 9 > a^2
a^2 - 2a - 9 < 0 (при этом мы помним, что a < 0)
D = 4 + 4*9 = 40
a1 = (2 - √40)/2 = (2 - 2√10)/2 = 1 - √10 ∈ (-9/2; 0) - подходит
a2 = (2 + √40).2 = 1 + √10 > 0
Решение неравенства a ∈ (1 - √10; 1 + √10)
С учетом, что a ∈ (-9/2; 0)
Решение: a ∈ (1 - √10; 0)

2) x2 > x1, тогда |x1 - x2| = x2 - x1
$frac{-(a+3)+ sqrt{2a+9} }{a} -frac{-(a+3)- sqrt{2a+9} }{a} textgreater 2$
$frac{-(a+3)+(a+3)+ sqrt{2a+9}+sqrt{2a+9} }{a}-2 textgreater 0$
$frac{ 2sqrt{2a+9}-2a }{a} textgreater 0$
Делим все на 2
$frac{sqrt{2a+9}-a }{a} textgreater 0$
Если a ∈ (-9/2; 0) по области определения, то
√(2a + 9) - a < 0
√(2a + 9) < a
Так как корень арифметический, то √(2a + 9) > 0, а по условию a < 0
Поэтому это неравенство решений не имеет.

Если a > 0, то
√(2a + 9) - a > 0
√(2a + 9) > a
2a + 9 > a^2
a^2 - 2a - 9 < 0 (при этом мы помним, что a > 0)
a1 = 1 - √10 < 0 - не подходит
a2 = 1 + √10 > 0 - подходит
Решение неравенства: (1 - √10; 1 + √10)
С учетом, что a > 0
Решение: a ∈ (0; 1 + √10)

Ответ: a ∈ (1 - √10; 0) U (0; 1 + √10)

Answer 7

При a= -4 расстряние < 2.

Answer 8

Да? Значит, весь промежуток (-9/2; 1 - √10) не подходит? Интересно, почему у меня получилось это лишнее решение?

Answer 9

Нашел, в чем подвох!

Answer 10

почему когда вы корни находили поделили на а когда надо было на 2а

Answer 11

Потому что я вычисляю не D, а D/4, так как коэффициент при х - четный.