Question

уравнение с параметром. 25 баллов

Answer 1

При каких значениях а уравнение
$sqrt{ 2sqrt{x}-a}+ frac{a-3}{ sqrt{ 2sqrt{x}-a}} =4$
имеет ровно два корня?

Решение:
Сделаем замену переменных
$y= sqrt{ 2sqrt{x}-a}$
Очевидно что при любом  положительном значении y переменная х будет иметь единственное значение. Покажем это
$y^2= 2sqrt{x}-a}$
$sqrt{x} = frac{y^2+a}{2}$
$x = frac{(y^2+a)^2}{4}$
Следовательно, чтобы исходное уравнение имело ровно два корня необходимо чтобы уравнение
$y+ frac{a-3}{y}=4$
имело ровно два положительных корня y₁>y₂>0.
Так как у не равен нулю то умножим обе части уравнения на у.
                    y² + a - 3 = 4y
             y² - 4y + a - 3 = 0
Получили квадратичное уравнение.
Данное уравнение имеет два корня если его дискриминант больше нуля.
                D = (-4)² - 4*(a - 3) = 16 - 4a + 12 = 28 - 4a = 4(7 - a)
                   D > 0
                7- a >0
                    a < 7
Корни уравнения
$y_1= frac{4+ 2sqrt{7-a} }{2}=2+ sqrt{7-a}$
$y_2= frac{4- 2sqrt{7-a} }{2}=2- sqrt{7-a}$
Проверим условие, что корни должны быть положительными
$2- sqrt{7-a} textgreater 0$
$sqrt{7-a} textless 2$
         7 - a < 4
               a > 3
Следовательно исходное уравнение имеет ровно два корня при всех значениях параметра а∈(3;7)

Ответ: а∈(3;7)