Question

Решите неравенство, пожалуйста

Answer 1

$sqrt{|1-8x|-2} leq x+1$
возводим обе части в квадрат:
$|1-8x|-2 leq x^2+2x+1 \|1-8x| leq x^2+2x+3$
одз:
$|1-8x|-2 geq 0 \|1-8x| geq 2 \ left[begin{array}{ccc}1-8x geq 2\1-8x leq -2end{array}right \8x leq -1 \x leq - frac{1}{8} \8x geq 3 \x geq frac{3}{8} \ x in (-infty;- frac{1}{8} ]U[ frac{3}{8} ;+infty)$
$x+1 geq 0 \x geq -1 \ x in [-1;+infty)$
$x in ((-infty;- frac{1}{8} ]U[ frac{3}{8} ;+infty)) cap [-1;+infty)=[-1;- frac{1}{8}]U[ frac{3}{8} ;+infty)$
теперь решаем неравенство:
$|1-8x| leq x^2+2x+3 \ left { {{1-8x leq x^2+2x+3} atop {1-8x geq -x^2-2x-3}} right.$
решаем каждое их этих неравенств по отдельности:
$\x^2+10x+2 geq 0 \D=100-8=92=(2sqrt{23})^2 \x_1= frac{-10+2sqrt{23}}{2} =sqrt{23}-5 \x_2=-5-sqrt{23}$
используем метод интервалов (см. приложение 1)
$x in (-infty;-5-sqrt{23}]U[sqrt{23}-5;+infty)$
$1-8x geq -x^2-2x-3 \x^2+2x+3+1-8x geq 0 \x^2-6x+4 geq 0 \D=36-16=20=(2sqrt{5})^2 \x_1= frac{6+2sqrt{5}}{2} =3+sqrt{5} \x_2=3-sqrt{5}$
используем метод интервалов (см. приложение 2)
$x in (-infty;3-sqrt{5}]U[3+sqrt{5};+infty)$
пересекаем множества решений этих двух неравенств:
$((-infty;-5-sqrt{23}]U[sqrt{23}-5;+infty))cap ((-infty;3-sqrt{5}]U[3+sqrt{5};+infty))$
также:
$-5-sqrt{23}approx-9,8 \sqrt{23}-5approx -0,2 \3-sqrt{5}approx 0,8 \3+sqrt{5}approx 5,2$
поэтому:
$((-infty;-5-sqrt{23}]U[sqrt{23}-5;+infty))cap ((-infty;3-sqrt{5}]U[3+sqrt{5};+infty))\=(-infty;-5-sqrt{23}]U[sqrt{23}-5;3-sqrt{5}]U[3+sqrt{5};+infty)$
пересекаем теперь с одз:
$((-infty;-5-sqrt{23}]U[sqrt{23}-5;3-sqrt{5}]U[3+sqrt{5};+infty)) cap \ ([-1;- frac{1}{8}]U[ frac{3}{8} ;+infty))= [sqrt{23}-5;- frac{1}{8} ]U [ frac{3}{8};3-sqrt{5} ]U [3+sqrt{5};+infty)$
Ответ: $x in [sqrt{23}-5;- frac{1}{8} ]U [ frac{3}{8};3-sqrt{5} ]U [3+sqrt{5};+infty)$

Answer 2

cup - объединение