Question

Помогите, пожалуйста, найти частные производные первого и второго порядка функции
z = f (x, y)
и показать, что она удовлетворяет данному уравнению.

Answer 1

Найдем частные производные первого порядка функции z=f(x,y)
$frac{partial z}{partial x} = 8sin (4x-5y) cos (4x-5y)$
$frac{partial z}{partial y} = -10sin (4x-5y) cos (4x-5y)$
Частные производные второго порядка найдем, используя формулу производной произведения для трех сомножителей:
$(u*v*w)^{'} = u^{'}*v*w + u*v^{'}*w+u*v*w^{'}$
$frac{partial^{2} z}{partial x^{2}} = 32cos^{2} (4x-5y) - 32sin^{2} (4x-5y)$
$frac{partial^{2} z}{partial y^{2}} = 50cos^{2} (4x-5y) - 50sin^{2} (4x-5y)$
$frac{partial^{2} z}{partial x partial y} = frac{partial^{2} z}{partial y partial x} = 40sin^{2} (4x-5y) - 40cos^{2} (4x-5y)$
Найденные $frac{partial z}{partial x}$ и $frac{partial z}{partial y}$ подставим в уравнение и сократим на $2sin (4x-5y) cos (4x-5y)$
Получим
$5*4+4*(-5)=0$
Следовательно, функция удовлетворяет данному уравнению.