Question

Σ((-1)^n)(1/(n-cosn)) предели от 1 до бесконечности иследовать абсолутную и условную сходимость помогите пожалуйста

Answer 1

Абсолютно расходится: |(-1)^n / (n - cos n)| > 1/(n - 1), ряд из 1/(n - 1) расходится.

Условная сходимость: в знаменателе вынесем n за скобку и воспользуемся формулой 1/(1 - x) = 1 + x + O(x^2) при |x| < 1:
$displaystylesum_{n=1}^inftydfrac{(-1)^n}{n(1-frac{cos n}n)}=sum_{n=1}^inftydfrac{(-1)^n}nleft(1+dfrac{cos n}n+a_nright)$
где
$|a_n| textless C'left(dfrac {cos n}{n}right)^2 textless dfrac C{n^2}$

Если раскрыть скобки, ряды из вторых и третьих слагаемых сходятся абсолютно, поскольку их члены по модулю не превосходят A/n^2 и B/n^3, ряд (-1)^n / n сходится условно по признаку Лейбница, значит, и весь ряд сходится условно.