Question

20 балов!""
1) sin⁡α= 9/41,sin⁡β= -40/41, 0<α<π/2, 3/2 π<β<2π.Вычислить ctg(α-β)
2) Cвести к тригонометрических функций острого угла:
sin2005°
3) Доказать, что √3- 2sin10°=4 sin25°cos35°

Answer 1

формулы сложения:
$ctg( alpha -beta ) = frac{ctg ( alpha) * ctg ( beta ) + 1}{ctg ( beta) - ctg ( alpha )}= frac{cos( alpha - beta )}{sin( alpha - beta )} =\ =frac{cos( alpha )cos(beta )+sin( alpha )sin( beta )}{sin( alpha )cos(beta )-cos( alpha )sin( beta )} =$

нам нужно узнать чему равны $cos( alpha )$ и $cos( beta )$!!!!
$alpha$ - угол первой четверти, значит его косинус положителен
$beta$ - угол четвертой четверти, значит и его косинус положителен.

Итак:
$cos( alpha )= sqrt{1-sin^2( alpha )} = sqrt{1- (frac{9}{41})^2 } = frac{ sqrt{41^2-9^2} }{41} = frac{40}{41}$

$cos( beta )= sqrt{1-sin^2( beta )} = sqrt{1- (-frac{40}{41})^2 } = frac{ sqrt{41^2-40^2} }{41} = frac{9}{41}$

ctg( alpha )= frac{cos( alpha )}{sin( alpha )} = frac {frac{40}{41} }{ frac{9}{41} }= frac{40}{9} 

$ctg( beta )= frac{cos( beta )}{sin( beta )} = frac {frac{9}{41} }{- frac{40}{41} }=- frac{9}{40}$

$ctg( alpha -beta ) = frac{ frac{40}{9} * (- frac{9}{40} ) + 1}{ctg ( beta) - ctg ( alpha )}= frac{0}{not zero}=0$
--------------------------------------------------------------
$sin(2005^0)=sin(6*360^0-155^0)=sin(-155^0)=-sin(155^0)=\ =-sin(180^0-25^0)=-sin(25^0)$
---------------------------------------------------------------
$sqrt{3} - 2sin(10^0)=2*[ frac{ sqrt{3} }{2} - sin(10^0)]=\ =2*[2*sin(frac{60^0-10^0}{2}) * cos(frac{60^0+10^0}{2})]=\ =4sin(25^0)cos(35^0)$