Question

Найти производную функции. Листочек с решением скиньте пжл.

Answer 1

Рассмотрим функцию двух переменных:
$F(x,y) = sqrt{x^2-y^2}-sqrt{2y^2-x^2}$

Для нахождения производной этой функции найдем частную производную по х, потом по y. А потом по формуле ниже найдем саму производную.

$displaystyle y'=-frac{F'_x}{F'_y}\\\F'_x=(sqrt{x^2-y^2}-sqrt{2y^2-x^2})'\\\F'_x=frac{1}{2sqrt{x^2-y^2}}*(x^2-y^2)'-frac{1}{2sqrt{2y^2-x^2}}(2y^2-x^2)'\\\F'_x=frac{2x-0}{2sqrt{x^2-y^2}}+frac{2x}{2sqrt{2y^2-x^2}}=frac{x}{sqrt{x^2-y^2}}+frac{x}{sqrt{2y^2-x^2}}\\\\F'_y=(sqrt{x^2-y^2}-sqrt{2y^2-x^2})'\\\F'_y=frac{1}{2sqrt{x^2-y^2}}*(x^2-y^2)'-frac{1}{2sqrt{2y^2-x^2}}(2y^2-x^2)'$

$displaystyle F'_y=frac{-2y}{2sqrt{x^2-y^2}}-frac{4y}{2sqrt{2y^2-x^2}}=frac{-y}{sqrt{x^2-y^2}}-frac{2y}{sqrt{2y^2-x^2}}\\\\y'=-frac{F'_x}{F'_y}=-frac{frac{x}{sqrt{x^2-y^2}}+frac{x}{sqrt{2y^2-x^2}}}{frac{-y}{sqrt{x^2-y^2}}-frac{2y}{sqrt{2y^2-x^2}}}=frac{frac{xsqrt{2y^2-x^2}+xsqrt{x^2-y^2}}{sqrt{(x^2-y^2)(2y^2-x^2)}}}{frac{ysqrt{2y^2-x^2}+2ysqrt{x^2-y^2}}{sqrt{(x^2-y^2)(2y^2-x^2)}}}=\\\=boxed{frac{xsqrt{2y^2-x^2}+xsqrt{x^2-y^2}}{ysqrt{2y^2-x^2}+2ysqrt{x^2-y^2}}}$

Answer 2

Подозреваю, что это самый громоздкий способ, который тут только можно придумать :) Во-первых ответ надо бы упростить: у вас по условию sqrt(2y^2-x^2)=sqrt(x^2-y^2). А это значит, что вся дробь сокращается, и как минимум в ответе должно быть y'=2х/(3y).

Answer 3

А вообще, исходное уравнение замечательно решается переносом и возведением в квадрат. Будет 3y^2=2x^2, откуда сразу получается вышеуказанный ответ. Более того, можно же выразить у через х: y=+-x*sqrt(2/3), откуда y'=+-sqrt(2/3).

Answer 4

При возведении в квадрат обоих частей равенства появится модуль.

Answer 5

Нет! :)

Answer 6

Модуль может появиться при извлечении корня из квадрата, а не при возведении корня в квадрат ))) При возведении в квадрат могут появиться дополнительные решения, но их не появляется, т.к. равенство 3y^2=2x^2 удовлетворяет ОДЗ.