Question

В ромбе ABCD диагонали AC и BD относятся как 4:3. Через точку пересечения диагоналей проведена высота MN ( M - принадлежит AD, N - принадлежит BC). Во сколько раз площадь ромба больше площади треугольника ANM?

Answer 1

Треугольник  AMN  прямоугольный, значит по свойству ромба диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Найдем сторону ромба по Пифагору 
$sqrt{(2x)^2+(1.5x)^2}=2.5x$
теперь можно двумя способами найти OM 
1)$9x^2=2*2.5x^2-2*2.5x^2*cosa\ sina=frac{24}{25}\ OM=2x*sin(frac{arcsinfrac{24}{25}}{2})=1.2x$

2)$OM=frac{2x*1.5x}{2.5x}=1.2x$

значит AM 
$AM=sqrt{4x^2-1.44x^2}=1.6x\ S_{AMN}=frac{1.6x*2*1.2x}{2}\ S_{ABCD}=frac{3x*4x}{2}\ \ frac{S_{ABCD}}{S_{AMN}}=frac{25}{8}$