Question

Две стороны треугольника равны 2 и 2√15, а медиана третьей стороны равна 4. Найдите площадь треугольника.

Answer 1

Половина длины стороны, к которой построена медиана = x
Острый угол между медианой и этой стороной = f
Тогда теорема косинусов для двух треугольников, на которые медиана бьёт исходный даёт систему из двух уравнений
2²=x²+4²-2·x·4·cos (f)
2²·15=x²+4²-2·x·4·cos (180°-f)
---
4=x²+16-8·x·cos(f)
60=x²+16+8·x·cos(f)
---
-12=x²-8·x·cos(f)
44=x²+8·x·cos(f)
Сложим два уравнения
44-12=2x²
16=x²
x=4
Т.е. исходный треугольник имеет стороны 2, 8, 2√15
Найдём его площадь по формуле Герона

$p=frac {a+b+c}{2} = frac {2+8+2sqrt{15}}{2} = 5+sqrt{15}\ S = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\ =sqrt{(5+sqrt{15})*(3+sqrt{15})*(-3+sqrt{15})*(5-sqrt{15})}=\ =sqrt{(5^{2} -sqrt{15}^{2})*(sqrt{15}^{2}-3^{2})}=\ =sqrt{(25-15)*(15-9)}=sqrt{10*6}=sqrt{60}=sqrt{4*15}=2sqrt{15}$