Question

Не школьный вопрос, но хотя для кого как. Найти общее решение диф. ур
$frac{2x}{y^{3}} dx+frac{y^{2}-3x^{2}}{y^{4}} dy=0$

Answer 1

Однородное дифференциальное уравнение:
$frac{2x}{y^{3}}+frac{y^{2}-3x^{2}}{y^{4}}y'=0 \y=tx;y'=t'x+t\frac{2x}{t^3x^3}+frac{t^2x^2-3x^2}{t^4x^4}(t'x+t)=0\frac{2}{t^3x^2}+frac{t^2-3}{t^4x^2}(t'x+t)=0|*t^4x^2\2t+(t^2-3)(t'x+t)=0\t^3-t+(t^2-3)frac{dt}{dx}x=0\(t^2-3)frac{dt}{dx}x=t-t^3|*frac{dx}{x(t-t^3)}\frac{dx}{x}=frac{3-t^2}{t^3-t}dt$

$t^3-t=0\t(t^2-1)=0\t=0;t=^+_-1\y=0 ;y=^+_-x\\y=x:\frac{2x}{x^{3}}+frac{x^{2}-3x^{2}}{x^{4}}=0\frac{2}{x^2}-frac{2}{x^2}=0\0=0\\y=-x\-frac{2x}{x^3}+frac{x^2-3x^2}{x^4}neq0\-frac{2}{x^2}-frac{2}{x^2}neq0\-frac{4}{x^2}neq0$

$frac{3-t^2}{t^3-t}=frac{A}{t}+frac{B}{t-1}+frac{C}{t+1}=frac{-3}{t}+frac{1}{t-1}+frac{1}{t+1}\3-t^2=A(t^2-1)+B(t^2-t)+C(t^2+t)\t^2=-1=A+B+C\t|0=-B+C\t^0|3=-A= textgreater A=-3\B=C=1$

$frac{dx}{x}=(frac{-3}{t}+frac{1}{t-1}+frac{1}{t+1})dt\intfrac{dx}{x}=int(frac{-3}{t}+frac{1}{t-1}+frac{1}{t+1})dt\ln|x|=ln|frac{1}{t^3}|+ln|t^2-1|+ln|C|\ln|x|=ln|C(frac{1}{t^3}(t^2-1))|\x=C(frac{x^3}{y^3}(frac{y^2}{x^2}-1))\1=C(frac{1}{y}-frac{x^2}{y^3})\frac{1}{y}-frac{x^2}{y^3}=C;y=x$